Relación de orden


Relación de orden

Relación de orden

Sea A un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida en A, entonces decimos que R es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

  1. Reflexividad: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, \forall x\in A, \; xRx.
  2. Antisimetría: Si dos elementos de A se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, \forall x,y\in A, \; xRy, \; yRx \; \Rightarrow \; x=y
  3. Transitividad: Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, \forall x,y,z\in A, \; xRy , yRz \Rightarrow xRz

Una relación de orden R sobre un conjunto A puede denotarse con el par ordenado (A,\le).

Contenido

Relación de orden total

Sea A un conjunto dado,  \le es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

\forall x,y\in A, (x\le y) \vee (y\le x).

  • Ejemplo (\mathbb{N},\le) es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: \forall n\in\mathbb{N}, entonces n\le n (porque por definición, n=n\,)
    • Antisimétrico: \forall n_1, n_2\in\mathbb{N}, si \; \; n_1\le n_2\; \; y \; \; n_2\le n_1,\; \; entonces n_1\le n_2\le n_1 \Rightarrow n_1=n_2
    • Transitivo: \forall n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N}, si \; \; n_1\le n_2\; \; y \; \; n_2\le n_3,\; \; entonces n_1\le n_2\le n_3 \Rightarrow n_1\le n_3

Relación de orden parcial

Sea A un conjunto dado,  \le es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

\exists x,y\in A, tal que (x\le y) \vee (y\le x).

\mathcal{P}(X)=\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \}

Entonces (\mathcal{P}(X), \subseteq) es parcialmente ordenado, pues sean

A=\{1\}, B=\{1,2\}, C=\{3\}\in\mathcal{P}(X),
A\subseteq B, pero (A\nsubseteq C) \wedge (C\nsubseteq A).

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (xy y xy), existe otro z en X tal que x < z < y.

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3 := (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un cojunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.

Véase también

Esquema de temas relacionados

Teoría del orden
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Orden bien fundamentado
Obtenido de "Relaci%C3%B3n de orden"

Wikimedia foundation. 2010.

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