Par ordenado

Par ordenado

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Un par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen:

(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano de X e Y, escrito $X \times Y$.

Tuplas ordenadas

Los tríos ordenados y las tuplas ordenadas se pueden definir recursivamente a partir de la definición de par ordenado: un trío ordenado (a,b,c) puede ser definido como (a,(b,c)) ó como ((a,b),c); o sea, un par ordenado que contiene otro par ordenado como elemento.

Esta aproximación se refleja en lenguajes de programación: es posible representar una lista de elementos como una construcción de pares ordenados anidados. Por ejemplo, la lista (1,2,3,4,5) se convierte en (1,(2,(3,(4,(5,()))))). El lenguaje de programación Lisp usa estas listas como su estructura de datos primaria.

Pares ordenados en la teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos pura, donde solamente existen conjuntos, pares ordenados (a, b) se pueden definir como el conjunto:

$~(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski, y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma de separación y el axioma del par).

La afirmación de que x sea el primer elemento de un par ordenado p puede ser entonces formulada como

$\forall_{y\in p}\qquad x\in y$

y que x sea el segundo elemento de p como

$(\exist_{y\in p}\quad x\in y)\wedge(\forall_{y_1\in p}\forall_{y_2\in p}\quad (x \in y_1 \wedge x\in y_2) \Rightarrow y_1=y_2)$

Nótese que esta definición también es válida para el par ordenado p = (x,x) = {{x},{x,x}} = {{x},{x}} = {{x}}.

En la formulación usual ZF de la teoría de conjuntos incluyendo el axioma de regularidad, un par ordenado (a,b) puede también ser definido como el conjunto {a,{a,b}}. De todas formas, el axioma de regularidad es necesario, dado que sin él, sería posible considerar conjuntos x y z tales que x = {z},z = {x}, y $x\neq z$. Entonces se tendría que

$(x,x)=\{x,\{x,x\}\}=\{x,\{x\}\}=\{x,z\}=\{z,x\}=\{z,\{z\}\}=\{z,\{z,z\}\}=(z,z)\,$

mientras que se quiere que $(x,x)\neq(z,z)$.

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