Interpolación racional

Una Función racional r, de grado N, es un cociente de polinomios cuyos grados suman N.

$r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_0+p_1(x-x_0)+ \cdots +p_n(x-x_0)^n}{q_0+q_1(x-x_0)+ \cdots +q_n(x-x_0)^n}$

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que $x_1,x_2, \cdots ,x_N$ son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto x₀, en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que f(x) y r(x) coincidan en el conjunto ${x_0,x_1,x_2, \cdots ,x_N}$. Para que r(x) exista en x₀, debe ser $q_0 \ne 0$ y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que q₀ = 1. Por otra parte, al sustituir x por x₀, se obtiene p₀ = f(x₀). Así pues, el punto x₀ ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes. Si sustituimos en r(x), cada uno de los puntos ${x_0,x_1,x_2, \cdots ,x_N}$ y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de f(x) en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:

$\sum_{k=1}^n p_k(x_i-x_0)^k - \sum_{j=1}^m f(x_i)q_j(x_i-x_0)^j= f(x_i)-f(x_0), i=1,2,\cdots x_N$