Número de Thabit

En teoría de números un número de Thabit, número de Thabit ibn Qurrá o número 321 es un número entero de la forma $3\cdot2^n-1$, siendo n un número entero no negativo.

Definición

Un número de Thabit está descrito por la fórmula:

$3\cdot2^n-1$,

donde n es un número entero no negativo $(n=0,1,\dots)$.

Los primeros veinte números de Thabit son:^[1]

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1.535, 3.071, 6.143, 12.287, 24.575, 49.151, 98.303, 196.607, 393.215, 786.431, y 1.572.863.

Los números de Thabit representados en forma binaria tienen una longitud de n + 2 dígitos y consisten de un «10» seguido por n unos. Por ejemplo, para el número 23, n = 3

$23=3\cdot 2^3-1$,

y en modo binario:

23 = 10111₂,

es decir, un 10 seguido de tres unos.

Los primeros diez números de Thabit que además son números primos son:^[1]

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6.143, 786.431 y 51.539.607.551.

Para abril de 2008, los valores conocidos de n con los cuales se obtiene un número de Thabit primos son:^[2]

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1.274, 3.276, 4.204, 5.134, 7.559, 12.676, 14.898, 18.123, 18.819, 25.690, 26.459, 41.628, 51.387, 71.783, 80.330, 85.687, 88.171, 97.063, 123.630, 155.930, 164.987, 234.760, 414.840, 584.995, 702.038, 727.699, 992.700, 1.201.046, 1.232.255, 2.312.734, 3.136.255 y 4.235.414.

Los primos para $n\geq 234.760$ fueron encontrados por el proyecto de computación distribuida 321 search.^[3] El mayor de éstos, $3\cdot 2^{4.235.414}-1$, tiene 1.274.988 dígitos y fue encontrado por Dylan Bennet en abril de 2008. El récord anterior era $3\cdot 2^{3.136.255}-1$, encontrado por Paul Underwood en marzo de 2007.

Números amigos

Cuando n y n − 1 producen números de Thabit primos, y $9 \cdot 2^{2n - 1} - 1$ es primo también, se puede calcular un par de números amigos de la siguiente manera:

$2^n(3 \cdot 2^{n - 1} - 1)(3 \cdot 2^n - 1)$ y $2^n(9 \cdot 2^{2n - 1} - 1).$

Por ejemplo, n = 2 produce el número de Thabit 11 y n = 1 produce el número de Thabit 5, por lo que el tercer término es $9\cdot 2^{2(2)}-1=71$. Usando las fórmulas anteriores se obtienen los números amigos 220 y 284. Los divisores del primero suman 284 y del segundo 220.

Los únicos valores conocidos de n para los que se satisfacen estas condiciones son 2, 4 y 7, los cuales corresponden a los números de Thabit 11, 47 y 383.

Se reconoce al matemático del siglo IX Thabit ibn Qurrá como el primero en estudiar estos números y su relación con los números amigos.

Véase también

• Regla de Thabit ibn Qurrá

Referencias

• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Thabit number de la Wikipedia en inglés, bajo licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 y GFDL.

Notas

1. ↑ ^{a b} Obtenidos a través de la secuencia A055010, On-line Encyclopedia of Integer Sequences, Henry Bottomley (2000)
2. ↑ Cadwell, Chris K. (2008), «The prime database» consultado el 16 de agosto de 2010 (en inglés).
3. ↑ 321 Search (2006), status of the search.html «The status of the search». Consultado el 16 de agosto de 2010 (en inglés).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. (2010) «Thâbit ibn Kurrah Number». De MathWorld - A Wolfram Web Resource (en inglés).