Bisectriz


Bisectriz

Bisectriz

La bisectriz es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Contenido

Propiedad

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes.

Construcción gráfica con regla y compás.
Bisectriz interior-exterior.png

En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.

Aplicación

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Bisectrices.png

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Otras propiedades

Circbisec.svg

Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos

Véase también

Obtenido de "Bisectriz"

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Mira otros diccionarios:

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  • bisectriz — {{#}}{{LM B47051}}{{〓}} {{[}}bisectriz{{]}} ‹bi·sec·triz› {{《}}▍ s.f.{{》}} Recta que divide un ángulo en dos partes iguales …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • bisectriz — (Geom) 1 adj f Que divide un plano o una recta en dos partes iguales 2 s f Línea recta que, partiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos iguales …   Español en México

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