Breather


Breather

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Un breather (habitualmente sin traducción) es una solución a un determinado sistema no lineal (bien a un sistema con muchos grados de libertad, o bien a un sistema continuo), consistente en una onda que concentra su energía de manera localizada y oscilatoria, en contraposición a la ergodicidad esperada. Los breathers aparecen como soluciones en ecuaciones de medios continuos o en redes discretas no lineales. Ejemplos del primer caso son la ecuación de sine-Gordon y la ecuación no lineal de Schrödinger. Una condición necesaria para la existencia en el segundo caso (redes discretas no lineales), es que la frecuencia principal del breather y sus armónicos se encuentren fuera del espectro de frecuencias de los fonones de la red.

Los breathers pueden ser estáticos (oscilones) o no.

El breather como solución a la ecuación de sine-Gordon

La ecuación de sine-Gordon es la ecuación en derivadas parciales:

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sin u = 0,

donde u es una función de x y t: u = u(x,t)

Utilizando el método IST (Inverse Spectral Transform o Inverse Scattering Transform) se alcanza la solución:

u = 4 \arctan\left(\frac{\sqrt{1-\omega^2}\;\cos(\omega t)}{\omega\;\cosh(\sqrt{1-\omega^2}\; x)}\right),

que para ω < 1 corresponde a un breather.

El breather como solución a la ecuación no lineal de Schrödinger

En paralelismo a la ecuación de Schrödinger en una dimensión:

i\,\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - V u = 0,

La ecuación no lineal de Schrödinger es la ecuación en derivadas parciales:

i\,\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + |u|^2 u = 0,

donde u es una función de x y t: u = u(x,t)

Por ejemplo, la solución:


  u =
  \left( 
    \frac{2\, b^2 \cosh(\theta) + 2\, i\, b\, \sqrt{2-b^2}\; \sinh(\theta)} 
         {2\, \cosh(\theta)-\sqrt{2}\,\sqrt{2-b^2} \cos(a\, b\, x)} 
    - 1
  \right)\;
  a\; \exp(i\, a^2\, t)
  \quad\text{with}\quad
  \theta=a^2\,b\,\sqrt{2-b^2}\;t,


para b < \sqrt{2} , corresponde a breathers periódicos en x.


Véase también

Obtenido de "Breather"

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