Conjunto conexo


Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto C \subseteq X de un espacio topológico (X,\mathcal{T}) \, (donde  \mathcal{T} \, es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es inconexo.

Formalmente, C \subseteq X es un conjunto conexo si y sólo si

A,B\in\mathcal{T}, A\cap  B\cap  C=\emptyset, C\subseteq  A\cup  B implica  C\subseteq A \vee  C\subseteq B

Notar que si C = X, entonces tendremos que X es conexo si y sólo si  A,B\in\mathcal{T},  A\cap  B=\emptyset, A\cup  B=X implica  A=X \vee B=X. En este caso, (X,\mathcal{T}) \, se llama espacio topológico conexo,

Bajo estas definiciones, se tiene que C \subseteq X es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Contenido

Ejemplos

Conjuntos conexos

  • Las esferas S^n, n\geq 1, son conexas
  • Un punto en \mathbb{R}^{n} es conexo
  • Un nudo es un conjunto conexo en S^3 \,
  • Un toro es un conjunto conexo en \mathbb{R}^3
  • En \mathbb{R}, un conjunto es conexo si y solamente si es un intervalo (matemática)
  • El complementario de un punto en \mathbb{R}^n, n\geq 2, es conexo

Conjuntos inconexos

  • El complementario de un punto en \mathbb{R}
  • El conjunto formado por la unión de dos esferas disjuntas en \mathbb{R}^{n}
  • Un enlace de n \, componentes (nudos)

Propiedades de los conjuntos conexos

Se cumple que si (X,\mathcal{T}) \, es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: C \subseteq X es un conjunto conexo si y solamente si para toda función f \colon C \to \{0,1\} \ continua, se cumple que f es una función constante, donde a {0,1} se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si ({X_i,\mathcal{T}_i})_{i\in I} es una familia de espacios topólogicos conexos (con I un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces (\prod_{i \in I} X_i,\mathcal{T}) también es conexo, donde \mathcal{T} es la topología producto.

Por último, si X no es conexo, es decir, si existen abiertos U,V disjuntos no vacíos tales que su unión es X, es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: X será conexo si y sólo si los únicos clopen son X y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Conexidad por caminos

Diremos que un conjunto X es conexo por caminos o arco conexo si dados x_{1},x_{2} \in X existe un camino continuo \alpha :[0,1]\rightarrow X tal que α(0) = x1 y α(1) = x2.

Peine2.jpg

La conexidad por caminos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, X=A \cup B, donde A = {(0,1)} y B=((0, 1] \times {0})\cup (\{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\}\times [0, 1]). X es conexo, pero no conexo por caminos.

Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquier subconjunto de éste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por caminos es conexa por caminos).

Componentes conexas

Dado un espacio topológico (X,\mathcal{T}) \, inconexo se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto  Y \in \mathcal{T} \, es un componente conexa si se cumplen estas dos condiciones:

  1.  Y \in \mathcal{T} \, es conexo.
  2. Cualquier conjunto  Z \, que contiene propiamente a  Y \, es inconexo.

Se cumple que las componentes conexas de X forman una partición de X.


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Conjunto de Mandelbrot — Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo 1 pertenece al conjunto mientras que 1 no …   Wikipedia Español

  • Conjunto simplemente conexo — En topología, se dice que un conjunto es simplemente conexo cuando cualquier contorno (curva cerrada) contenido en él se puede transformar por homotopía en un punto. En un conjunto simplemente conexo, por tanto, dos contornos cualesquiera… …   Wikipedia Español

  • Conjunto dominante — El conjunto dominante de un grafo G = (V, E) es un subconjunto V de V tal que cada vértice que no pertenezca a V está unido a (al menos) un miembro de V . El número dominante γ(G) es el cardinal del menor conjunto dominante de G. El problema de… …   Wikipedia Español

  • Conjunto de Julia — Conjunto de Julia, un fractal. C = [0.285, 0.01]. Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados… …   Wikipedia Español

  • Conjunto clopen — En topología, un conjunto clopen (o conjunto cebierto) en un espacio topológico es un conjunto que es a la vez abierto y cerrado. Ejemplos En cualquier espacio topológico X, el conjunto vacío y todo el espacio X son ambos clopen. Ahora considere… …   Wikipedia Español

  • Múltiplemente conexo — Matemática pero vulgarmente hablando, un conjunto conexo, expresado mediante diagramas de Venn para una variable bidimensional, es aquel en el que podemos unir, mediante un trazo, dos elementos cualesquiera del conjunto sin levantar el lapicero y …   Wikipedia Español

  • Grafo conexo — En teoría de grafos, un grafo G se dice conexo, si para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos una trayectoria (una sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) de a a b. Definiciones Relacionadas Un grafo dirigido tal… …   Wikipedia Español

  • Espacio conexo por caminos — En topología un espacio topológico se dice que es conexo por caminos si dos elementos cualesquiera pueden conectarse mediante una curva. Definición Sea un espacio topológico. Una curva en X es una función continua . (En realidad, puede ser… …   Wikipedia Español

  • Anexo:Glosario de topología — Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la topología general y en las definiciones que sean importantes para… …   Wikipedia Español

  • Glosario de topología — Anexo:Glosario de topología Saltar a navegación, búsqueda Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la… …   Wikipedia Español