Equicontinuidad

Equicontinuidad

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Sean $(X,\mathcal{T}) \,$ espacio topológico, $(Y,d)\,$ espacio métrico, y x₀ un punto en X. Un conjunto H de funciones de X en Y se dice equicontinuo en x₀ si y solamente si para todo $r>0, \exists A$ entorno de x₀ tal que $\forall f \in H, f(A)\subseteq B(f (x_o),r)$

Notar que, en particular, si H es equicontinuo en x₀, entonces todas las funciones que pertenecen a H son continuas en x₀.

Decimos que H es equicontinua si lo es para todo $x_0 \in X$.

Ejemplos

1. Si H es una familia finita de funciones continuas, entonces es equicontinua
2. Si $(X,\mathcal{T}) \,$ es métrico y todas las funciones de H son Lipschitz continuas con una misma constante K, entonces H es equicontinua
3. Si $X,Y\subseteq \mathbb{R}$, todas las funciones de H son derivables, y existe una constante K > 0 tal que $\forall f \in H, \forall x \in X, |f'(x)|<K$, entonces se cumple que todas las funciones de H son Lipschitz continuas de constante K, y, por ende, H es equicontinuo.

Esta última propiedad es una de las más usadas para verificar equicontinuidad de una familia de funciones.

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