Matriz antisimétrica


Matriz antisimétrica

Una matriz de mxn elementos (m = filas, n = columnas) :


A = 
\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2n}\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3n}\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & . & . & .& a_{mn}\\
\end{pmatrix}

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y aji = − aij para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, aii = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:


A = 
\begin{pmatrix}
  0 & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1n}\\
  -a_{12} & 0 & a_{23} & . & . & .& a_{2n}\\
  -a_{13} & -a_{23} & 0 & . & . & .& a_{3n}\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
-a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & . & . & .& 0\\
\end{pmatrix}


Ejemplo


A = 
\begin{pmatrix}
  {0} & {-2} & {4}\\
  {2} & {0} & {2}\\
  {-4} & {-2}&{0}\\
\end{pmatrix}
= > 
-A =
\begin{pmatrix}
  {0} & {2} & {-4}\\
  {-2} & {0} & {-2}\\
  {4} & {2}&{0}\\
\end{pmatrix}


La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto.

Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0.

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:


A = \frac{1}{2}\left(A+A^T\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)

donde la parte antisimétrica es


\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)


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