Matriz nilpotente

En álgebra lineal, una matriz $N \in M_{n.n}(K)$ se dice que es nilpotente si existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $N^k = 0\,$.

Teorema

Si $A\,$ es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero.

Demostración

Si A es una matriz nilpotente de orden k, $A^k=0\,$

Por lo tanto: $\det(A^k)=0\,$

Luego: $\det(A)^k=0\,$ por lo que $\det(A)=0\,$

Ejemplos

La matriz

$M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

es nilpotente, ya que M² = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con 0s a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

$N = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

es nilpotente, con

$N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente no lo tiene. Por ejemplo, las matrices

$\begin{bmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}\qquad\text{y}\qquad \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 15 & -9 & 6 \\ 10 & -6 & 4 \end{bmatrix}$

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Referencias

• Matriz nilpotente y transformación nilpotente en PlanetMath. (en inglés)