Número de Bernoulli


Número de Bernoulli

En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por Bn y, a veces, por bn con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números.

Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann.

Contenido

Introducción

Históricamente, surgieron de los intentos de obtener una forma cerrada de la suma de potencias de números naturales \sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n

Las formas cerradas de la expresión son siempre polinomios en m de orden n + 1. Se obtuvo una de dichas formas mediante polinomios de Bernoulli y otra mediante el uso de números de Bernoulli:

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}.

Por ejemplo, si n = 1, tenemos que 0 + 1 + 2 + \cdots + (m-1) = 1/2 \ (B_0 m^2 + 2 B_1 m) = 1/2 \ (m^2 - m).

Definición de los números de Bernoulli

Se pueden definir de diversas formas equivalentes:

  • Como los términos independientes de los polinomios de Bernoulli \textstyle B_n(x) correspondientes.
  • Mediante una función generatriz G(x), en este caso:
G(x) = \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!} \quad \mbox{si} \quad |x|< 2\pi

donde cada coeficiente Bn de la serie de Taylor es el n-ésimo número de Bernoulli.

  • Mediante la siguiente fórmula recursiva:
B_0 = 1 \,
B_m= -\sum_{j=0}^{m-1}{m\choose{j}} {{B_j} \over {m+1-j}}


El primer algoritmo para la generación automática de números de Bernoulli fue descrito por primera vez por Ada Byron en sus notas sobre la máquina analítica de Charles Babbage a principios del siglo XVIII.

Algunos valores

A continuación se ofrecen los primeros números de Bernoulli (las sucesiones completas de numeradores y denominadores en OEIS son, respectivamente, A027641 y A027642):

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66 0 −691/2730 0 7/6 0 −3617/510 0 43867/798 0 −174611/330

Se puede demostrar que Bn = 0 para todo n impar distinto de 1. La peculiar forma del valor de B_{12}=- {{691} \over {2730}} parece señalar que los valores de los números de Bernoulli no tienen una descripción elemental; de hecho, esencialmente son valores de la función zeta de Riemann para enteros negativos y están asociados a propiedades profundas de la teoría de los números y, por ello, no se espera que tengan una formulación trivial.

Identidades relacionadas

Leonhard Euler expresó los números de Bernoulli en términos de la función zeta de Riemann con la expresión siguiente:

B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.

Propiedades aritméticas

Como ya se ha indicado, los números de Bernoulli pueden expresarse en términos de la función zeta de Riemann, lo que implica que en esencia, son valores de la función zeta para los enteros negativos. Así, se puede esperar que tengan propiedades aritméticas de índole no trivial, un hecho que fue descubierto por Ernst Kummer en sus trabajos sobre el Último teorema de Fermat.

Las propiedades de los números de Bernoulli relacionados con su divisibilidad se relacionan con los grupos ideales de campos ciclotómicos gracias al teorema de Kummer y se refuerzan gracias al teorema de Herbrand-Ribet; también se relacionan con los campos cuadráticos gracias al las proposiciones de Ankey-Artin-Chowla. Tienen también conexión con las teorías-K algebraicas; si cn es el numerador de B_n \over {2 n}, entonces el orden de K_{4n-2}(\Bbb{Z}) es c2n si n es par y 2c2n si n es impar.

Además, relacionada con la cuestión de la divisibilidad, existe un teorema (von Staudt-Clausen) que nos indica que si sumamos 1/p a Bn para todo número primo p tal que p − 1 | n, el resultado es un número entero. Este hecho nos permite caracterizar de forma inmediata a los denominadores de los números de Bernoulli Bn distintos de cero como el producto de todos los números primos p tales que p − 1 | n. En consecuencia los denominadores están libres de cuadrados y son divisibles por 6.

Finalmente, otro resultado (la conjetura de Argoh-Giuga) postula que p es un número primo si y solo si p B_{p-1} \cong -1 \bmod\, p.

Continuidad p-ádica

Una importante propiedad relacionada con la congruencia de los números de Bernoulli es la denominada propiedad de la "continuidad p-ádica". Esta propiedad reza lo siguiente: si b,m y n son enteros positivos tales que m y n no son divisibles por p − 1 y m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1), entonces (1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b.


Y, puesto que Bn = − nζ(1 − n), también puede escribirse como (1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,,, donde u = 1 − m y v = 1 − n, de forma que u y v ni son positivos ni son congruentes con 1 \bmod\, p - 1. En esencia, esto lo que nos indica es que la función zeta de Riemann, con 1 − pz extraídos de la fórmula del producto de Euler, es continua tanto en los números p-ádicos como en los números enteros negativos congruentes  \bmod \, p - 1 con un a concreto tal que a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1, lo que permite extender el resultado a una función continua ζp(z) para todos los enteros p-ádicos \Bbb{Z}_p,\, en lo que se denomina la función Zeta p-ádica

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Número de Bernoulli — Los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por para distinguirlos de los números de Bell ) son números enteros que se obtienen a partir de una forma cerrada de la siguiente expresión para cada valor de . Las formas cerradas de la… …   Enciclopedia Universal

  • Bernoulli — Saltar a navegación, búsqueda Los Bernoulli (o Bernouilli) son una familia de matemáticos y físicos suizos procedentes de la ciudad de Basilea, que irrumpió en el mundo científico a finales del siglo XVII. El fundador de esta familia fue Jacob el …   Wikipedia Español

  • Número de Giuga — Un Número de Giuga es un número compuesto n tal que cada uno de sus factores primos pi es un divisor de . Otra comprobación es si la congruencia es cierta, siendo B un número de Bernoulli. Los números Giuga reciben su nombre del matemático… …   Wikipedia Español

  • Número de Genocchi — Los números de Genocchi, así nombrados en honor a Angelo Genocchi, son una sucesión de enteros, Gn que satisfacen la siguiente relación: . Los primeros números de Genocchi son 1, 1, 0, 1, 0, 3, 0, 17, 0, 155, 0, 2073, 0, 38227, 0, 929569… …   Wikipedia Español

  • Número e — e} es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la… …   Wikipedia Español

  • Número armónico — El número armónico Hn,1 con (gráfica roja) con su límite asintótico γ + log x (gráfica azul). En matemáticas, se define el n ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n …   Wikipedia Español

  • Polinomios de Bernoulli — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, los polinomios de Bernoulli Bn(x) se definen mediante la función generatriz: Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta… …   Wikipedia Español

  • Loi de Bernoulli — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli. Bernoulli Paramètres (nombre réel) Support …   Wikipédia en Français

  • Distribución de Bernoulli — Saltar a navegación, búsqueda Bernoulli Función de distribución de probabilidad Parámetros Dominio Función de probabilidad (fp) …   Wikipedia Español

  • Teorema de Bernoulli — Para el comportamiento físico de un fluido, véase Principio de Bernoulli. El Teorema de Bernoulli es un caso particular de la Ley de los grandes números, que precisa la aproximación frecuencial de un suceso a la probabilidad p de que este ocurra… …   Wikipedia Español