Tensor de inercia


Tensor de inercia

El tensor de inercia es un tensor simétrico de segundo orden que caracteriza la inercia rotacional de un sólido rígido. Expresado en una base del espacio viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres productos de inercia (dicha construcción se explica en este otro artículo).

Definición

El tensor de inercia sólido rígido se define como un tensor simétrico de segundo orden tal que la forma cuadrática construida a partir del tensor y la velocidad angular Ω da la energía cinética de rotación, es decir:

E_{rot} = \frac{1}{2} \left(
\begin{matrix}
        \Omega_{x} & \Omega_{y} & \Omega_{z}\\
      \end{matrix}
\right)
\left(
      \begin{matrix}
        I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\
        I_{yx} & I_{yy} & I_{yz}\\
        I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
      \end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
        \Omega_{x} \\ \Omega_{y} \\ \Omega_{z}\\
      \end{matrix}
\right) = \frac{1}{2} 
\sum_{j} \sum_{k}  I_{jk} \Omega_{j} \Omega_{k}

Donde las componentes de este tensor de inercia en una base ortonormal XYZ pueden calcularse a partir de los tres momentos de inercia según esos tres ejes perpendiculares:

\begin{cases}
I_{xx} = \int_M d_x^2 dm = \int_V \rho(y^2+z^2) dxdydz\\ 
I_{yy} = \int_M d_y^2 dm = \int_V \rho(z^2+x^2) dxdydz\\
I_{zz} = \int_M d_z^2 dm = \int_V \rho(x^2+y^2) dxdydz \end{cases}

Y los tres productos de inercia que se calculan como:

I_{xy} = I_{yx} = \int_M -xy\ dm = \int_V -\rho xy\ dxdydz
I_{yz} = I_{zy} = \int_M -yz\ dm = \int_V -\rho yz\ dxdydz
I_{zx} = I_{xz} = \int_M -zx\ dm = \int_V -\rho zx\ dxdydz

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

I_{ij} = I_{ji} = \int_M \left[\delta_{ij} \left(\sum_i x_i^2\right) -x_ix_j\right] \ dm = \int_V \rho \left[\delta_{ij}\left(\sum_i x_i^2\right)-x_ix_j \right]\ dxdydz

Donde i,j \in {1,2,3} y donde (x_1,x_2,x_3) = (x,y,z)\;.

Derivación formal del tensor de inercia

La velocidad de un cuerpo rígido se puede escribir como la suma de la velocidad del centro de masa más la velocidad de un elemento del sólido, matemáticamente esto es:

 \mathbf v = \mathbf V_{CM} + \mathbf\Omega \wedge \mathbf r

donde \mathbf v es la velocidad, \mathbf V_{CM} es la velocidad del centro de masa, \mathbf \Omega es la velocidad angular medida en un sistema solidario al sólido y \vec r es la distancia entre el origen de este sistema y el elemento del sólido. Si se toma la norma al cuadrado de este vector se puede obtener la energía cinética de dicho diferencial de cuerpo rígido, a saber

 dT=\frac{1}{2}v^2 dm

donde dm=\rho(\mathbf r)dV, con \rho(\mathbf r) la densidad del cuerpo y dV un elemento de volumen. Para obtener la energía cinética total del cuerpo rígido se debe integrar en todo el volumen de éste:

 T = \frac{1}{2}\int_V\rho(\mathbf r)v^2dV

 T = \frac{1}{2}MV_{CM}^2+\frac{1}{2}\int_V\rho(\mathbf r)(\mathbf\Omega\wedge\mathbf r)^2dV+\int\rho(\mathbf r)\mathbf V_{CM}\cdot(\mathbf\Omega\wedge\mathbf r)dV

Con el fin de anular el último término, i. e. simplificar la expresión (y las sucesivas), se elige el origen del sistema solidario al sólido en el centro de masa. De este modo:

\int\rho\mathbf V_{CM}\cdot(\mathbf\Omega\wedge\mathbf r)dV=\int\rho\mathbf r\cdot(\mathbf V_{CM}\wedge\mathbf\Omega)=(\mathbf V_{CM}\wedge\mathbf\Omega)\cdot\int\rho\mathbf r \quad dV=0

pues, en virtud de la elección hecha \int\rho \mathbf{r} \quad dV=0. Se tiene luego que

T=\frac{1}{2}MV_{CM}^2+\frac{1}{2}\int_V\rho(\mathbf r)(\mathbf\Omega\wedge\mathbf r)^2dV

es evidente, que el primer término es la energía cinética debido a la traslación del cuerpo. El otro término, en consecuencia, debe ser la energía asociada a la rotación del mismo. Si se escribe explícitamente el integrando de este último término se tiene

\mathbf\Omega\wedge\mathbf r =(\Omega_2x_3-\Omega_3x_2;\Omega_3x_1-\Omega_1x_3;\Omega_2x_1-\Omega_1x_2)

(\mathbf\Omega \wedge \mathbf{r})^2=
\frac{1}{2}\sum_{ij}(\Omega_ix_j-\Omega_jx_i)^2=
\sum_{ij}\Omega_i^2x_j^2-\Omega_jx_i\Omega_ix_j=
\sum_{ij} \Omega_i \Omega_j (\delta_{ij}r^2-x_i x_j)

donde es claro que:

\Omega_j=\sum_j\Omega_j\delta_{ij} \,

con δij la delta de Kronecker. Poniendo este resultado en la expresión asociada a la energía cinética debido a la rotación y poniendo la integral dentro de la sumatoria se tiene

 T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{ij} \Omega_i \Omega_j \int_V \rho(\mathbf r) (\delta_{ij}r^2-x_i x_j)dV

Debe notarse que el factor correspondiente a la integral depende únicamente de las característica geométricas (físicas) del cuerpo. En efecto, depedende de su forma (volumen) y de la masa del cuerpo y de como cómo está distribuida en dicha forma. Este factor es la componente i,\,j de un cierta matriz que se conoce como Tensor de Inercia, puesto que toda matriz corresponde a un tensor de segundo rango:

I_{ij}=\int_V\rho(\mathbf r)(\delta_{ij}r^2-x_{ij}) \quad dV

A los elementos I_{ii},\,i=1,2,3 se los llama momento de inercia respecto del eje i. Claramente, se ve que el tensor de inercia es simétrico, por lo tanto es siempre diagonalizable. Es decir, siempre se puede encontrar una base de vectores tal que dicha matriz tenga forma diagonal. Tales vectores definen lo que se conoce como ejes principales. En otras palabras, siempre se puede elegir un sistema completo de vectores ortonormales (ejes principales) con los cuales el tensor de inercia toma forma diagonal.

Véase también


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