Teorema de los residuos


Teorema de los residuos

El Teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis Complejo.

Contenido

Enunciado

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de puntos zk que constituyen singularidades aisladas de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades. Entonces se tiene:

\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)

donde \operatorname{Res}(f, z_k) es el Residuo de la función, en el punto singular z_k.

Demostración

Sea f holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial  f(z)\,dz es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral  \int_C f(z)\, dz es igual a  \int_{C'} f(z)\, dz siempre que C' sea una curva homotópica con C.

En específico, podemos considerar una curva tipo C' la cual tiene una rotación alrededor de los puntos aj sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva C' sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de f alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea z = aj + ρeiθ parametrización de la curva alrededor del punto aj, entonces tendremos dz=\rho i e^{i\theta}\, d \theta, por lo tanto:



\int_C f(z)\, dz = \int_{C'} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j)\int_{\partial B_\rho(a_j)} f(z)\, dz
 = \sum_j \eta(C,a_j) \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta}) \rho i e^{i\theta}\, d\theta

donde ρ > 0, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas Bρ(aj) están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio U. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda j:

i\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = 2\pi i \mathrm{Res}(f,a_j).

Sea j fija y apliquemos la serie de Laurent para f en aj:

 f(z)= \sum_{k\in \mathbb Z} c_k (z-a_j)^k

de tal forma que Res(f,aj) = c − 1, donde c-1, es el coeficiente de {1 \over (z-a_j)} en la serie de laurent. Entonces tenemos:

 \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta =
\sum_k \int_0^{2\pi} c_k (\rho e^{i\theta})^k \rho e^{i\theta}\, d\theta
=\rho^{k+1} \sum_k c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta.

Observemos que si k = − 1 , tendremos


\rho^{k+1} c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = 
c_{-1}\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi c_{-1} = 2\pi \,\mathrm{Res}(f,a_j)

mientras que para  k\neq -1 tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que


\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = \left[\frac{e^{i(k+1)\theta}}{i(k+1)}\right]_0^{2\pi} = 0.

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Véase también

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