Traza de una matriz

Traza de una matriz
Traza de una matriz de 4×4.

En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.

Es decir,

\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}

donde aij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima de A.

Propiedades

  • La traza es un operador lineal:
\operatorname{tr}\left( A+B \right)=\operatorname{tr}\left( A \right)+\operatorname{tr}\left( B \right)
\operatorname{tr}\left( rA \right)=r\left( \operatorname{tr}\left( A \right) \right)
siendo  A \, y  B \, matrices cuadradas, y  r \, un escalar.
  • Como la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,
\operatorname{tr}\left( A^{T} \right)=\operatorname{tr}\left( A \right)
  • Si  A \, es una matriz de n\times m y  B \, una matriz de m\times n, entonces
\operatorname{tr}\left( AB \right)=\operatorname{tr}\left( BA \right)
Para demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices A y B viene dado por
 [AB]_{ij} = \sum_{k=1}^m [A]_{ik}[B]_{kj}
con lo cual, podemos expresar la traza de AB como
\operatorname{tr}\left( AB \right) = \sum_{i=1}^n [AB]_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m [A]_{ik}[B]_{ki}
y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio
\operatorname{tr}\left( AB \right) = \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n  [A]_{ik}[B]_{ki} = \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n  [B]_{ki}[A]_{ik} = \sum_{k=1}^m [AB]_{kk} = \operatorname{tr}\left( BA \right)
Notar que AB \, es una matriz cuadrada de n\times n, mientras que BA \, es una matriz cuadrada de m\times m
  • Si  A \, es una matriz cuadrada de orden  n \, con  n \, autovalores reales o complejos (incluyendo multiplicidad): \lambda _{1},...,\lambda _{n} \, entonces:
\operatorname{tr}\left( A \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda _{i}}

Esto puede verse fácilmente teniendo en cuenta la correspondiente forma canónica de Jordan de la aplicación lineal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una matriz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz es la suma de los elementos de la diagonal de la forma de Jordan, es decir, la suma de autovalores.


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Exponencial de una matriz — La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial. Sea una matriz nxn de números reales o complejos, la exponencial de denotada por o es la matriz dada por la serie de potencia …   Wikipedia Español

  • Traza — Üña Una traza puede ser: En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos de la diagonal principal. En geometría analítica, la traza (geometría) intersección de un lugar geométrico con los planos de intersección.… …   Wikipedia Español

  • Traza — ► sustantivo femenino 1 Apariencia o figura de una persona o de una cosa: ■ tiene traza de noble; su dibujo tiene traza de león. SINÓNIMO aire aspecto 2 ARQUITECTURA Proyecto o diseño de un edificio o de otra obra de construcción. SINÓNIMO esbozo …   Enciclopedia Universal

  • Matriz (matemática) — Se ha sugerido que Teoría de Matrices sea fusionado en este artículo o sección (discusión). Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales aquí. Para otros usos de este término, véase Matriz. En matemáticas, una …   Wikipedia Español

  • Matriz cuadrada — Una matriz de nxm elementos: es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas. Es …   Wikipedia Español

  • Traza parcial — En el álgebra lineal y el análisis funcional, la traza parcial es una generalización de la traza. Mientras que la traza es una función a valores escalares sobre operadores, la traza parcial es una función operador valorada. La traza parcial tiene …   Wikipedia Español

  • Matriz semejante — En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n por n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n por n sobre K tal que: P −1AP = B. Uno de los significados del término transformación de semejanza es una… …   Wikipedia Español

  • Iglesia Matriz de Santa María de Guía — Tipo Iglesia Matriz Advocación Nuestra Señora de Guía …   Wikipedia Español

  • Invariante algebraico (álgebra lineal) — Un invariante algebraico es una función polinómica de las componentes de la matriz de una aplicación lineal, no depende de la base vectorial escogida para representar la aplicación lineal en forma de matriz. En otras palabras, un invariante… …   Wikipedia Español

  • Análisis multivariante de la varianza — En estadística el análisis multivariante de la varianza o MANOVA (por su nombre en inglés, Multivariate analysis of variance) es una extensión del análisis de la varianza o ANOVA para cubrir los casos donde hay más de una variable dependiente que …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”