Espacio prehilbertiano

Espacio prehilbertiano

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En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par $(V,\langle \cdot | \cdot \rangle)$, donde $V\,$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ y $\langle \cdot | \cdot \rangle$ es un producto escalar en $V\,$.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio perhilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base $\mathbb{K}$ sea $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, así ningún espacio prehilbertiano sobre $\mathbb{Q}$ puede ser un espacio de Hilbert.

Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser R o C), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{K}$

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

• Hermítica.

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.$

Nótese que si K=R, la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.$

Esta condición implica que $\langle x,x\rangle \in \mathbf{R}$ para todo $x \in V$, porque $\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle}$.

• Sesquilineal:

$\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.$

Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:

$\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.$

En el caso de que el cuerpo sea R esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.

• Definida positiva:

$\forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0.$ (Tiene sentido, ya que $\langle x,x\rangle \in \mathbf{R}$ para todo $x\in V$.)

Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo. Esto se expresa así:

$\langle x,x\rangle = 0 \; \mbox{ sii } x = 0.$

Normas en espacios prehilbertianos

En los espacios con producto escalar se define una norma

$\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.$

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

• $\|x \|$ es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.

• Homogeneidad: para todo vector x y r un escalar:

$\|r \cdot x\| = |r| \cdot \| x\|.$

• Desigualdad triangular: para todo vector x e y

$\|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.$

Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: para x, y elementos en V

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes

Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz

• Ley del paralelogramo:

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$

• Teorema de Pitágoras: Sean x, y vectores ortogonales, entonces

$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.$

Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.

Una fácil generalización del teoremá pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:

• Si x₁, ..., x_n son vectores ortogonales, o sea, <x_j, x_k> = 0 para todo j, k distinto, entonces

$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.$

Ejemplos

• Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.

$\langle x,y\rangle := xy$

• Más generalmente, cualquier espacio Euclideano Rⁿ con el producto escalar es un espacio con producto interno.

$\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$

tenemos la norma:

$\|x\| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} = \sqrt{x_1^{2} + \cdots + x_n^{2}}.$

Obtenido de "Espacio prehilbertiano"