Espacio prehilbertiano

Espacio prehilbertiano

Espacio prehilbertiano

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par (V,\langle \cdot | \cdot \rangle), donde V\, es un espacio vectorial sobre un cuerpo \mathbb{K} y \langle \cdot | \cdot \rangle es un producto escalar en V\,.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio perhilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base \mathbb{K} sea \mathbb{R} o \mathbb{C}, así ningún espacio prehilbertiano sobre \mathbb{Q} puede ser un espacio de Hilbert.


Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser R o C), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

 \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{K}

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

  • Hermítica.
\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.
Nótese que si K=R, la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:
 \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
Esta condición implica que  \langle x,x\rangle \in \mathbf{R} para todo  x \in V , porque \langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle} .
  • Sesquilineal:
\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.
\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.
Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:
\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.
\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.


En el caso de que el cuerpo sea R esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.
  • Definida positiva:
\forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0. (Tiene sentido, ya que  \langle x,x\rangle \in \mathbf{R} para todo  x\in V .)
Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo. Esto se expresa así:
 \langle x,x\rangle = 0 \; \mbox{ sii } x = 0.

Normas en espacios prehilbertianos

En los espacios con producto escalar se define una norma

 \|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

  •  \|x \| es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.
 \|r \cdot x\| = |r| \cdot \| x\|.
 \|x + y\| \leq  \|x \| + \|y\|.


Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|
la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes
Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz
  • Ley del paralelogramo:
  \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.
 \|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.
Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.
Una fácil generalización del teoremá pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:
  • Si x1, ..., xn son vectores ortogonales, o sea, <xj, xk> = 0 para todo j, k distinto, entonces
 \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.

Ejemplos

  • Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.
\langle x,y\rangle := xy
  • Más generalmente, cualquier espacio Euclideano Rn con el producto escalar es un espacio con producto interno.
\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n
tenemos la norma:
 \|x\| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} = \sqrt{x_1^{2} + \cdots + x_n^{2}}.
Obtenido de "Espacio prehilbertiano"

Wikimedia foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Espacio prehilbertiano — Un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto interior. Más concretamente, es un par (X,(·|·)), donde X es un espacio vectorial sobre K y (·|·) es un producto escalar en X. Si el espacio es… …   Enciclopedia Universal

  • Espacio — Saltar a navegación, búsqueda Espacio (del latín spatium) se refiere: Especialmente al espacio físico, en el que se ubican los objetos sensibles; y la extensión que contiene toda la materia existente; la distancia entre dos cuerpos; la distancia… …   Wikipedia Español

  • Espacio vectorial — Saltar a navegación, búsqueda Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse. Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra… …   Wikipedia Español

  • Producto escalar — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. Un espacio prehilbertiano es… …   Wikipedia Español

  • Función ortogonal — Saltar a navegación, búsqueda En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto …   Wikipedia Español

  • Funciones ortogonales — En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el… …   Wikipedia Español

  • Norma vectorial — Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo… …   Wikipedia Español

  • Base ortonormal — Saltar a navegación, búsqueda En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso …   Wikipedia Español

  • Ortogonalidad (matemáticas) — En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego orthos recto y gonía ángulo ) es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son… …   Wikipedia Español

  • Portal:Matemática — …   Wikipedia Español


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»