Función zeta de Dedekind

En matemática, la función zeta de Dedekind es una serie de Dirichlet definida para todo cuerpo K de números algebraicos, expresada como ζ_K(s) donde s es una variable compleja. Es la suma infinita:

$\sum (NI)^{-s}$

realizada sobre todos los I ideales del anillo de los enteros O_K de K, con $I \neq \{0\}$. Donde NI es la norma de I (al campo racional Q): es igual a la cardinalidad de O_K/I, en otras palabras, el número de clases de residuo módulo I. En el caso en que K=Q esta definición se reduce a la función zeta de Riemann.

Propiedades

Las propiedades de ζ_K(s) como una función meromórfica resultan de un considerable significado en la teoría de números algebraicos. Tiene un producto de Euler, con un factor para un dado número primo p el producto sobre todos los primos ideales P de O_K dividiendo p de

$\left(1 - (NP)^{-s}\right)^{-1}$

Esta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de los ideales I.

Se sabe (demostrado en forma general primero por Erich Hecke) que ζ_K(s) tiene una continuación analítica hacia todo el plano complejo como una función meromorfa, teniendo un polo simple solo en s = 1. El residuo en ese polo es una cantidad importante, que involucra a invariantes del grupo unitario y del grupo de clase de K; los detalles se encuentran en la fórmula de número de clase. Existe una ecuación funcional para la función zeta de Dedekind, que relaciona sus valores en s y 1−s.

Para el caso en que K es una extensión abeliana de Q, su función zeta de Dedekind puede ser escrita como un producto de funciones L de Dirichlet. Por ejemplo, cuando K es un cuerpo cuadrático esto muestra que la relación

$\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_{\mathbb{Q}}(s)}$

es una función L, L(s,χ); donde χ es un símbolo de Jacobi como carácter de Dirichlet. Que la función zeta de un cuerpo cuadrático sea un producto de la función zeta de Riemann y una cierta función L de Dirichlet es una formulación analítica de la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática.

En general si K es una extensión de Galois de Q con grupo de Galois G, su función zeta de Dedekind tiene una factorización comparable en términos de funciones L de Artin. Estas están asociadas a representaciones lineales de G.

Véase también

• Función L
• Hipótesis extendida de Riemann

Enlaces externos

• Dedekind zeta function en PlanetMath
• Factorization of the Dedekind zeta function of an abelian number field en PlanetMath