Número algebraico


Número algebraico

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0 = 0\,

Donde:

n > 0 (a_n \ne 0), es el grado del polinomio.
a_i \in \mathbb{Z}, los coeficientes del polinomio son números enteros.

Contenido

Ejemplos

  • Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de bxa = 0.
  • Algunos números irracionales como:\sqrt 2 y \frac{\sqrt[3]{3}}{2} también son algebraicos porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8x3 - 3 = 0, respectivamente.
  • Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son, en consecuencia, trascendentes.[1]
  • i es algebraico, siendo raíz de x^2 + 1 = 0\,.

Clasificación de los complejos

  • Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente.
  • Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es solución de una ecuación polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).

Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional \scriptstyle r = p/q;\ p,q\in \mathbb{Z}, siempre podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros \scriptstyle qx - p = 0 cuya solución es precisamente \scriptstyle r.

En cambio, los irracionales -aunque pueden ser números algebraicos- nunca pueden ser números algebraicos de grado 1.

Propiedades del conjunto de los números algebraicos

  1. La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un cuerpo matemático.
  2. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.
  3. Puede demostrarse que si los coeficientes ai son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como \scriptstyle \mathbb{A} forma un cuerpo con las operaciones heredadas de los complejos \scriptstyle \mathbb{C}. A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable.[2] y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.

Enteros algebraicos

Artículo principal: Número entero algebraico

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con an = 1 se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3×21/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.

Extensiones algebraicas

Artículo principal: Extensión algebraica

Las nociones de número algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros campos, no sólo aplican al de los complejos; véase extensión algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos (K,+,\cdot) y (L,+,\cdot) de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que \alpha \in L es algebraico sobre K si existe un polinomio p \in K[x] del que \alpha\, es raíz (p(\alpha)=0\,).

Véase también

Números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios

Referencias

  1. Weisstein, Eric W. "Transcendental Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. Hecho conocido demostrado por Dedekind, tal como testimonia su correspondencia

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Número algebraico — Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma: anxn + an 1xn 1 + ... + …   Enciclopedia Universal

  • algebraico — algebraico, ca adj. Perteneciente o relativo al álgebra (ǁ matemática). ☛ V. cálculo algebraico, círculo algebraico, expresión algebraico, número algebraico, término algebraico …   Diccionario de la lengua española

  • número trascendental — Número que no es algebraico, en el sentido de no ser solución de alguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Los números e y p, así como cualquier número algebraico elevado a una potencia que es un número irracional, son números… …   Enciclopedia Universal

  • Número (desambiguación) — Número puede en distintas disciplinas puede referise a diferentes conceptos: Contenido 1 Número como forma gramatical 2 Número como cantidad 3 Números usados para identificación 4 …   Wikipedia Español

  • número — (Del lat. numĕrus). 1. m. Mat. Expresión de una cantidad con relación a su unidad. 2. Signo o conjunto de signos con que se representa el número. 3. Cantidad de personas o cosas de determinada especie. 4. Condición, categoría, situación o clase… …   Diccionario de la lengua española

  • Número entero algebraico — No debe confundirse con elemento algebraico. En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los… …   Wikipedia Español

  • Número trascendente — Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no …   Wikipedia Español

  • Número áureo — Para el número de astronomía, ver Número áureo (astronomía) El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la… …   Wikipedia Español

  • Número — (Del lat. numerus.) ► sustantivo masculino 1 MATEMÁTICAS Ente abstracto o expresión de la cantidad en relación con la unidad. 2 MATEMÁTICAS Signo o conjunto de signos con que se representa este ente abstracto. SINÓNIMO cifra guarismo 3 Cantidad… …   Enciclopedia Universal

  • algebraico — ► adjetivo MATEMÁTICAS Que tiene relación con el álgebra: ■ cálculo algebraico. TAMBIÉN algébrico * * * algebraico, a o, menos frec., algébrico, a adj. De [o del] álgebra. * * * algebraico, ca. adj. Perteneciente o relativo al álgebra (ǁ… …   Enciclopedia Universal


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.