Integral de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Integral de superficie de un campo escalar

Se define la integral de superficie de una función escalar (real) F(x,y,z) en el espacio tridimensional R³ respecto a una superficie S representada por la función vectorial continua $\vec{r}(u,v) = x(u,v)\hat{i} + y(u,v)\hat{j} + z(u,v)\hat{k}$. Si la superficie S es la imagen de la región T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

$\iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_T f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\,\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|\,du\,dv$

en que $\vec{r}_u, \vec{r}_v$ son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.^[1]

La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria de los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por dA.

Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes $\vec{r}_u du, \vec{r}_v dv$ de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector $\vec{r}_u \times \vec{r}_v$ es un vector perpendicular a ambos vectores cuya área es la de dicho paralelógramo, por lo tanto, $dS = \|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\| du\,dv$. Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.^[2]

Integral de superficie de un campo vectorial

Definimos la integral de superficie de un campo o función vectorial $\vec{F}(x,y,z)$ bajo condiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:^[3]

$\iint_S \vec{F}(x,y,z) \cdot d\vec{S} = \iint_T \vec{F}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] \cdot \vec{r}_u \times \vec{r}_v\, du\,dv$

Las componentes del vector $\vec{r}_u \times \vec{r}_v$ pueden escribirse como determinantes jacobianos de la siguiente forma:^[4]

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\hat{i} + \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\hat{j} + \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\hat{k}$

Por lo tanto, si $\vec{F} = (F_1,F_2,F_3)$, la integral de superficie puede escribirse como:

$\iint_S F_1\,dy\,dz + F_2\,dz\,dx + F_3\,dx\,dy = \iint_T F_1 \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_2 \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} + F_3 \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\, du\,dv$

Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy o dz es importante, ya que $\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} = -\frac{\partial(z,y)}{\partial(u,v)}$,^[5] por lo que, por ejemplo:

$\iint_S f(x,y,z)dy\,dz = -\iint_S f(x,y,z)dz\,dy$

La integral de superficie de un campo escalar y la integral de superficie de un campo vectorial están conectadas mediante la identidad:

$\iint_S \vec{F}(x,y,z) \cdot d\vec{S} = \iint_T \vec{F}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] \cdot \hat{n}\, dS$

en la cual, $\hat{n} = \frac{\vec{r}_u \times \vec{r}_v}{\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|}$ es un vector unitario normal a la superficie S.^[6]

Referencias

1. ↑ Kreyszig, Erwin. Matemáticas avanzadas para ingeniería.
2. ↑ Kreyszig, Erwin, ibid.
3. ↑ Brand, Louis, Análisis Vectorial. México: Editorial Continental S. A., 1970. (Traducción de Vector Analysis, Nueva York: John Wiley & Sons, 1957)
4. ↑ Apostol, T. M., Análisis Matemático. España: Editorial Reverté S. A., 1960. (Traducción de Mathematical Analysis, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.)
5. ↑ Apostol, T. M., ibid.
6. ↑ Brand, Louis, ibid.

Véase también

• Integración
• Integral de línea
• Integral múltiple