Norma euclídea


Norma euclídea

En un dominio íntegro D, una norma euclídea es una aplicación \phi:D\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{N} (donde 0 representa el elemento neutro aditivo de D) tal que


  1. Para cualesquiera elementos a y b de D diferentes de 0, \phi(a)\leq\phi(ab).
  2. Para cualesquiera elementos a y b de D, con b diferente de 0, existen elementos c y r de D tales que ~a=bc+r con ~r=0 o 0\leq\phi(r)<\phi(b).


Si un dominio íntegro tiene una norma euclídea entonces se llama dominio euclídeo.

Ejemplos de norma euclídea

El valor absoluto es un ejemplo de norma euclídea en \mathbb{Z}, pues |a|\leq |ab| para todo a y b de \mathbb{Z} con b\neq 0, además de por lo indicado en el algoritmo de la división.

Además, en todo cuerpo \mathbb{K} puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante 1 (el elemento neutro multiplicativo de \mathbb{K}), ya que, para cualesquiera elementos a y b de \mathbb{K}, el elemento r y el elemento c aludidos en la definición de norma euclídea pueden tomarse como 0 y \frac{a}{b} respectívamente, y así a=b\left(\frac{a}{b}\right)+0.

Un hecho menos evidente es que si \mathbb{K} es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios \mathbb{K}[x] tiene por norma euclídea la aplicación

\mathrm{grad}:\mathbb{K}[x]\longrightarrow\mathbb{N}

que a cada polinomio no nulo de \mathbb{K}[x] le asigna su grado.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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