Anillo (matemática)


Anillo (matemática)

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto; de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1)

Contenido

Ejemplo de un anillo

El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación. La razón por la cual estas tres cosas forman un anillo, es porque cumplen con las siguientes propiedades:

  1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
  2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
  3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
  4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
  5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
  6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
  7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
  8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
  9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Definición formal

Sea A un conjunto no vacío, y sean \star y \circ dos operaciones binarias. Se dice que el conjunto (A,\star,\circ) \, es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación \star. \forall a, b \in A, a \star b \in A
2. La operación \star es asociativa. \forall a,b,c \in A, (a \star b) \star c = a \star (b \star c)
3. La operación \star tiene a n como elemento neutro. \forall a \in A, a \star n = n \star a = a
4. Existe un elemento simétrico para \star. \forall a \in A, \exists b \in A, a \star b = b \star a = n

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5. La operación \star es conmutativa. \forall a,b \in A, a \star b = b \star a

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6. A es cerrado bajo la operación \circ. \forall a, b \in A, a \circ b \in A
7. La operación \circ es asociativa. \forall a,b,c \in A, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
8. La operación \circ es distributiva respecto de \star. 
   \forall a, b, c \in A, \quad
   \left \{
      \begin{array}{l}
         a \circ (b \star c) = (a \circ b) \star (a \circ c) \\
         (a \star b) \circ c = (a \circ c) \star (b \circ c) \\
      \end{array}
   \right .

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9. La operación \circ es conmutativa. \forall a,b \in A, a \circ b = b \circ a

Elementos destacados en un anillo

  • Elemento cero: denotado por 0. Es el neutro para la suma.

Observación: Sea A un anillo arbitrario. 0x = 0 \; \forall x \in A
 Demostración: 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x. Luego 0x = 0x + 0x. Restando el inverso aditivo de 0x, que existe dado que A es un grupo para la suma, 0x − 0x = 0x Pero 0x − 0x = 0. Finalmente 0 = 0x \forall x\in A

  • Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple 1 \cdot a = a \cdot 1 = a para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.

El elemento cero y el elemento unitario sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial ( {0} ): Demostración: Sea a\in A a=a1 = a0 =0 Luego, \forall a\in A , a=0

  • Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, b es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de a si b \cdot a=1. Así mismo, c es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de a si a \cdot c=1. Un elemento a − 1 se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de a si a − 1 es inverso por la izquierda de a e inverso por la derecha de a, es decir, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1.

Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).

  • Elemento inversible, o elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.
  • Divisor del cero: un elemento a \neq 0 es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
  • Elemento regular: un elemento a \neq 0 de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.
  • Elemento idempotente: es cualquier elemento e del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que e \cdot e=e (esto se suele escribir como e2 = e). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.
  • Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento x del anillo para el que existe un número natural n de forma que xn = 0 (donde xn se define por recurrencia: x0 = 1, x^n = x \cdot x^{n-1}). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

Algunos tipos importantes de anillos

  • Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no debe confundirse con anillo abeliano).
  • Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.
  • Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.
  • Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.
  • Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).
  • Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.
  • Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

Subconjuntos notables

Subanillos e ideales

Un subanillo S de un anillo R =(A,+,·) es un subconjunto S \subset R que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, si a,b \in S, entonces a+b \in S y a\cdot b \in S. Si 1 \in R (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que 1 \in S. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de R, y sí lo será si R no es unitario.

Un subanillo S es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si R \neq S.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, (S, + ) es un subgrupo de (R, + ).

Pero en la Teoría de Anillos hay un tipo de subconjunto más notable aún que el de subanillo, el de ideal.

Un subconjunto I \subset R es ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si (I, + ) es subgrupo de (R, + ) y dados cualesquiera r \in R y x \in I se tiene que r \cdot x \in I.

Un subconjunto I \subset R es ideal por la derecha de un anillo (A,+,·) si (I, + ) es subgrupo de (R, + ) y dados cualesquiera r \in R y x \in I se tiene que x \cdot r \in I.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero (del anillo), o simplemente que es un ideal (del anillo).

La propiedad conmutativa nos asegura que en todo anillo conmutativo todo ideal por la izquierda es ideal por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal I (por la izquierda, por la derecha o bilátero) se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, I \neq R.

Unidades

Al conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario (R,+,\cdot,1_R) se le llama conjunto de unidades (del anillo), y se le denota por U(R).

Si I es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario U(R), entonces I \cap U(R) = \varnothing, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Centro

El centro de un anillo (R,+,\cdot) (denotado por Z(R)) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , \forall s \in R \}. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Nótese que siempre se tiene que 0 \in Z(R). Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., R = Z(R).

Véase también


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