Producto vectorial triple


Producto vectorial triple

Producto vectorial triple

El producto vectorial triple se define como el producto vectorial de un vector por el producto vectorial de otros dos. Se cumple que:

Exterior calc triple product.png
    \mathbf{a}\and (\mathbf{b}\and \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) 
   (\mathbf{a}\and \mathbf{b})\and \mathbf{c} = -\mathbf{c}\and(\mathbf{a}\and \mathbf{b}) = - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} + (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) \mathbf{b} 
   

La primera fórmula se conoce como Fórmula de Lagrange. La parte de la expresión a la derecha de la igualdad es más fácil de recordar con la regla mnemotecnica “BAC menos CAB”, acordándose así de qué vectores van juntos.

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

   \begin{align} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) & {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ & {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplaciano } \mathbf{f}. \end{align} 

Ésto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como Operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.


Vector y pseudovector

Un producto vectorial triple suele devolver un vector (verdadero). Para ser más exactos, según las reglas dadas para el producto vectorial, el producto triple a × (b × c) es un vector si "a" o "b × c" (pero no ambos) son pseudovectores. De otra manera, el producto es un pseudovector (o vector axial). Por ejemplo, si a, b, y c son todos vectores, entonces b × c produce un pseudovector, y a × (b × c) devuelve un vector.


Fuente

El artículo, sus fórmulas, y sus respectivas imágenes están extraidos y traducidos de un fragmento del artículo en inglés "Triple product", sección 2.1 "Vector triple product".


Wikimedia foundation. 2010.

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