Fibrado de Seifert

Un fibrado de Seifert es una 3-variedad que se obtiene construyendo un fibrado del tipo

$S^1\subset E \to \Sigma$

donde Σ es un orbifold que admite conos pero no líneas reflectoras (reflector lines). Esto último significa que E es localmente un producto $U\times S^1$ donde U es un conjunto abierto de Σ salvo en una cantidad finita de puntos excepcionales p₁,p₂,...,p_k para los cuales hay discos (vecindades) D₁,D₂,...,D_k , uno para cada p_i , disjuntos, tales que la fibración por S¹ ya no es trivial igual a $D\times S^1$ (fibraciones no triviales de toros sólidos).

Para obtener una fibración no trivial en un toro sólido, primero cortamos este en un disco meridional. Luego en este cilindro sólido damos un giro de $2\pi {a\over b}$ y después pegamos los extremos obteniendo un toro sólido fibrado por círculos b-veces más largos salvo el círculo determinado por el centro del disco.

Clasificación

La siguiente tabla es un diccionario bilingüe entre la primera clasificación original de H. Seifert en 1933 y la 1968-moderna de P. Orlik-F. Raymond

o1 = Oo

n2 = On

o2 = No

n1 = NnI

n3 = NnII

n4 = NnIII

He aquí los once primeros SFS cuya caractéristica de Euler del orbifold es χ>0:

• 1. $(Oo,0|b)\,$: los cuales son (Oo,0|0)=$S^2\times S^1$, (Oo,0|1)=S³. Y si b>1 entonces (Oo,0|b)=L(b,1) son espacios lentes no triviales.
  2. $(Oo,0|b:(a_1,b_1))=L(ba_1+b_1,a_1),\,$
  3. $(Oo,0|b:(a_1,b_1),(a_2,b_2))\,$
  4. $(Oo,0|b:(2,1),(2,1),(a_3,b_3))\,$
  5. $(Oo,0|b:(2,1),(3,b_2),(3,b_3))\,$
  6. $(Oo,0|b:(2,1),(3,b_2),(4,b_3))\,$
  7. $(Oo,0|b:(2,1),(3,b_2),(5,b_3))=(Oo,0|-1:(2,1),(3,1),(5,1))\,$ es la esfera de Poincaré
  8. $(NnI,1|b)\,$: son dos; $\mathbb{RP}^2\times S^1$ y el fibrado por la esfera S² no trivial sobre el círculo: $S^2\otimes S^1$.
  9. $(NnI,1|b:(a_1,b_1))\,$: son; $\mathbb{RP}^2\times S^1$ cuando ba₁ + b₁ es par, y $S^2\otimes S^1$ cuando ba₁ + b₁ es impar.
  10. $(On,1|b:)\,$: es una prisma-variedad.
  11. $(Oo,0|b:(a_1,b_1))\,$: también.

Ahora los siguientes 11 que cumplen χ=0:

• 1. $(Oo,0|b:(3,b_1),(3,b_2),(3,b_3,))\,$
  2. $(Oo,0|b:(2,1),(4,1),(4,b_3))\,$
  3. $(Oo,0|b:(2,1),(3,b_2),(6,b_3))\,$
  4. $(Oo,0|b:(2,1),(2,1)(2,1),(2,1),(2,1))\,$
  5. $(Oo,1|b)\,$: con b=1 esto es el producto trivial $T\times S^1$
  6. $(No,1|b))\,$
  7. $(NnI,1|0:(2,1),(2,1))\,$
  8. $(NnI,2|b)\,$: son dos K-fibrados sobre el círculo. Para b=0 es $K\times S^1$. Y para b=1 es $K\times_tS^1$, donde t es el único giro de Dehn de K.
  9. $(On,1|b:(2,1),(2,1))\,$
  10. $(On,2|b)\,$
  11. $(NnII,2|b)\,$: son dos K-fibrados sobre el círculo $K\times_fS^1$ con las respectivas monodromías f el y-homeomorfismo y el y-homeomorfismo compuesto con el único giro de Dehn en la botella de Klein K.

Enlace externo

Para un tratado más técnico favor de dirigirse a:

ftp://ftp.math.binghamton.edu/pub/matt/seifert.pdf