Grupo profinito


Grupo profinito

En matemática, un grupo pro-finito G es un grupo que, en cierto modo, está muy "próximo" a ser finito.

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Definición

Formalmente, un grupo pro-finito es límite inverso de grupos finitos. En concreto, G es pro-finito si existe un conjunto dirigido I, una colección de grupos finitos \{H_i\}_{i \in I}, y homomorfismos \alpha_{ij}: H_j \to H_i para cada par de elementos i,j \in I con i \leq j, que satisfacen

  • αii = 1 para todo i \in I
  • \alpha_{ij} \circ \alpha_{jk} = \alpha_{ik} para todos los i,j,k \in I con i \leq j \leq k

con la propiedades:

\lim\,H_i := \{ (h_i)\in\prod_{i\in I} H_i \ |\ \alpha_{ij}(h_j)=h_i, \ \forall i\leq j \}, con la multiplicación componente a componente.

Es posible verlos por tanto como grupos topológicos de manera natural: cada uno de los grupos finitos está dotado de la topología discreta, y como G es un subconjunto del producto de aquéllos espacios discretos, hereda cierta topología que lo convierte en un grupo topológico.

Ejemplos

Cada grupo finito es trivialmente pro-finito. Los ejemplos más importantes de grupos pro-finitos son los enteros p-ádicos. La Teoría de Galois de las extensiones de cuerpos de grado infinito hace surgir de forma natural los grupos de Galois que resultan ser pro-finitos. Los grupos fundamentales que son tratados por la Geometría algebraica son también pro-finitos, debido a que, hablando rápidamente, el álgebra sólo puede 'ver' recubrimientos finitos de una variedad algebraica.

Propiedades

Cada grupo pro-finito es un Espacio de Hausdorff compacto: ya que todos los espacios finitos discretos son de Hausdorff, su producto será un espacio compacto de Hausdorff por el Teorema de Tychonoff. G es un conjunto cerrado de este producto y por tanto es también compacto y de Hausdorff.

Todo grupo pro-finito es totalmente disconexo y más aún: un grupo topológico es pro-finito si y solamente si es Hausdorff, compacto y totalmente disconexo.

Grupos Ind-finitos

Existe la noción de grupo ind-finito, que es la dual de grupo pro-finito. Será por tanto un grupo G que es el límite directo de grupos finitos. La terminología usual es sin embargo diferente: un grupo G es llamado localmente finito si cada subgrupo finitamente generado es finito. De hecho esto es equivalente a ser ind-finito.

Aplicando la dualidad de Pontryagin, uno puede ver que los grupos abelianos pro-finitos son los duales de los grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son precisamente los grupos de torsión abelianos.

Véase también

  • Grupo localmente cíclico

Wikimedia foundation. 2010.

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