Matriz de Gram

En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores $v_1,\dots, v_n$ en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por G_ij = (v_i | v_j). Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Propiedades

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

• Es hermítica

$g_{ij}=g_{ji}^{*}$

En en caso que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

g_ij = g_ji

• Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
• Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:

$|G_i|>0 \quad i=1,\dots ,n; \text{ siendo } G_i=\begin{pmatrix} g_{11} & \cdots & g_{1i} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{i1} & \cdots & g_{ii} \\ \end{pmatrix}$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.

Determinante de Gram

El determinante de Gram o gramiano $\scriptstyle G(x_1,\dots, x_n)$ de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n² productos escalares formados con esos vectores:

$G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}$

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un editar] Enlaces externos

• Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. http://www.jyi.org/volumes/volume2/issue1/articles/barth.html.