Matriz identidad


Matriz identidad

En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario e_i \, de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n.

Definición

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. I_n \,, la matriz identidad de tamaño n \,, se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,


I_1 = \begin{pmatrix}
1 \\\end{pmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\\end{pmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\\end{pmatrix}

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

 I_n = \mathrm{diag}(1,1,...,1) \,

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como I \,.

También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

I_{ij} = \delta_{ij} \,

o, de forma aún más sencilla,

I = (\delta_{ij}) \,

La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.

Véase también


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