Matriz diagonal

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (d_i,j) es diagonal si:

$d_{i,j} = 0 \mbox{ si } i \ne j$

Ejemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a₁,...,a_n) para una matriz diagonal que tiene las entradas a₁,...,a_n en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

y para el producto de matrices,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

La matriz diagonal diag(a₁,...,a_n) es invertible si y sólo si las entradas a₁,...,a_n son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a₁,...,a_n) equivale a multiplicar la fila i-ésima de A por a_i para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a₁,...,a_n) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por a_i para todo i.

Autovalores, autovectores y determinante

• Los autovalores de diag(a₁,...,a_n) son a₁,...,a_n.
• Los vectores e₁,...,e_n forman una base de autovectores.
• El determinante de diag(a₁,...,a_n) es igual al producto a₁...a_n.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.